Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上．
（1）求異面直線D₁E與A₁D所成的角；
（2）若二面角D₁-EC-D的大小為45°，求直線BC₁與面D₁EC所成的角的正切．．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線D₁E與A₁D所成的角．
（2）求出平面D₁EC的法向量

n

=（

3

，1，2），由此利用向量法能求出直線BC₁與面D₁EC所成的角的正切．

解答： 解：（1）如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系，
則D₁（0，0，1），設E（1，t，0），0≤t≤2，
A₁（1，0，1），D（0，0，0），C（0，2，0）

D1E

=（1，t，-1），

A1D

=（-1，0，-1），
cos＜

D1E

，

A1D

＞=

-1+0+1

3 • 2

=0，
∴異面直線D₁E與A₁D所成的角為90°．
（2）

D1E

=（1，t，-1），

D1C

=（0，2，-1），
設平面D₁EC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • D1E =x+ty-z=0 n • D1C =2y-z=0

，
取y=1，得

n

=(2-t，1，2)，
又平面ECD的法向量

m

=（0，0，1），二面角D₁-EC-D的大小為45°，
∴cos45°=cos＜

m

，

n

＞=

2

(2-t)2+5

，
解得t=2-

3

，或t=2+

3

（舍），
∴

n

=（

3

，1，2），
B（1，2，0），C₁（0，2，1），

BC1

=（-1，0，1），
設直線BC₁與面D₁EC所成的角為θ，
sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

- 3 +2

8 • 2

|=

2- 3

4

，
∴tanθ=

(2- 3 ) 9+4 3

9+4 3

．
∴直線BC₁與面D₁EC所成的角的正切為

(2- 3 ) 9+4 3

9+4 3

．

點評：本題考查異面直線所成的角的求法，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．