Question

4．已知f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當x∈[-1，0）時，f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$（a為實數(shù)）．
（1）當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（2）若0＜a＜$\frac{1}{a}$時，判斷f（x）在x∈（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結論；
（3）是否存在a，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最小值6．

Answer 1

分析 （1）當x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），將-x代入函數(shù)的解析式結合函數(shù)的奇偶性求出即可；
（2）通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；
（3）假設存在，利用基本不等式的性質(zhì)求出即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，
當x∈[-1，0）時，f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$（a為實數(shù)）．
∴當x∈（0，1]時，-x∈[-1，0）
∴f（-x）=-2ax-$\frac{1}{x}$=-f（x），
∴f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$；
（2）由（1）得：x∈（0，1]時：f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，
設0＜x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=2ax₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-2ax₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（2a-1）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
$\frac{1}{2}$＜a＜1時：2a-1＞0，x₁-x₂＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函數(shù)f（x）在（0，1]遞增；
0＜a≤$\frac{1}{2}$時：2a-1＜0，x₁-x₂＜0，f（x₁）＞f（x₂），
函數(shù)f（x）在（0，1]遞減；
（3）假設存在實數(shù)a，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最小值6，則a＞0，
∴f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2ax•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2a}$=6，解得：a=$\frac{9}{2}$，當且僅當x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$=$\frac{1}{3}$時“=”成立．

點評 本題考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想，是高考的重點，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．