Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₈=64，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$$＞\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁、公差為d，利用a₃=5、S₈=64計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2可得S_n=n²，從而不等式成立等價(jià)于3n²＞1，而3n²＞1在n≥1時(shí)恒成立，即得結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=5}\\{{S}_{8}=8{a}_{1}+28d=64}\end{array}\right.$，
解得：a₁=1，d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，
∴S_n=n+2×$\frac{n（n-1）}{2}$=n²，
要證：$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$$＞\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N^*），
即證：$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{2}{{n}^{2}}$，
只需證：[（n+1）²+（n-1）²]n²＞2（n²-1）²，
只需證：（n²+1）n²＞（n²-1）²，
只需證：3n²＞1，
而3n²＞1在n≥1時(shí)恒成立，并且以上每步均可逆，
從而不等式$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$$＞\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N^*）恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，考查關(guān)于數(shù)列和的不等式恒成立問(wèn)題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．