Question

12．設(shè)F是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，過F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作橢圓C的切線并相交于點(diǎn)P，線段OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓C于點(diǎn)Q，滿足$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{QP}$，且$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{OF}=0$，則橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{OF}=0$，可取Q$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，由于$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{QP}$，可得P$（-\frac{3c}{2}，\frac{3^{2}}{2a}）$．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得過點(diǎn)A，B的切線方程分別為：$\frac{{x}_{1}x}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}y}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}y}{^{2}}$=1．聯(lián)立解得P．設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+c），可得x_P=-$\frac{{a}^{2}k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}k（{x}_{2}+c）-{x}_{2}k（{x}_{1}+c）}$=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，于是$-\frac{3c}{2}$=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{OF}=0$，∴可取Q$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，
∵滿足$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{QP}$，∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{OQ}$，
∴P$（-\frac{3c}{2}，\frac{3^{2}}{2a}）$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得過點(diǎn)A，B的切線方程分別為：$\frac{{x}_{1}x}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}y}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}y}{^{2}}$=1．
聯(lián)立解得P$（\frac{-{a}^{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}，\frac{^{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}）$．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+c），
∴x_P=-$\frac{{a}^{2}k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}k（{x}_{2}+c）-{x}_{2}k（{x}_{1}+c）}$=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴$-\frac{3c}{2}$=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交相切問題、向量線性運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．