Question

8．（1）已知f（x）為二次函數(shù)，且f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，求f（x）；
（2）已知3f（x）+2f（-x）=x+3，求f（x）

Answer 1

分析 （1）考慮待定系數(shù)法求f（x），設f（x）=ax²+bx+c，先求出c=2，然后根據(jù)f（x+1）-f（x）=x-1可建立關于a，b的方程，解出a，b，從而得出二次函數(shù)f（x）；
（2）將原式中的x換成-x，便可又得到一個關于f（x）和f（-x）的等式，聯(lián)立原等式即可解出f（x）．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c；
∴f（0）=c=2，f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2ax+a+b=x-1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=1}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$；
∴$a=\frac{1}{2}，b=-\frac{3}{2}$；
∴$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2$
（2）根據(jù)條件，$\left\{\begin{array}{l}{3f（x）+2f（-x）=x+3}\\{3f（-x）+2f（x）=-x+3}\end{array}\right.$；
解得$f（x）=x+\frac{3}{5}$．

點評 考查二次函數(shù)的一般形式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及利用解方程組的方法求函數(shù)解析式．