Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin x+acos x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，g（x）的最大值以及使得g（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0）代入f（x）中，即可求出a的值；
（2）化簡g（x），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間以及g（x）的最大值和取得最大值時(shí)x的集合．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin x+acos x的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0），
∴f（-$\frac{π}{3}$）=sin（-$\frac{π}{3}$）+acos（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a=0，
解得a=$\sqrt{3}$；
（2）∵g（x）=f（x）-2=sinx+$\sqrt{3}$cosx-2=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-2，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z；
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{6}$+2kπ]，k∈Z；
當(dāng)sin（x+$\frac{π}{3}$）=1時(shí)，g（x）取得最大值是2×1-2=0；
令x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴使g（x）取得最大值的x的集合是$\left\{{x\left|{x=\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z}\right.}\right\}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．