Question

18．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)A 在曲線C上，∠F₁AF₂ 的平分線交x軸于點(diǎn)M
（I）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），則|AF₂|=6；
（II）若|AF₁|+|AF₂|=24，則△F₁AF₂的面積為54．

Answer 1

分析 （I）求得雙曲線的a，b，c，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理可得$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{|A{F}_{1}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$，由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=6，進(jìn)而可得所求；
（II）由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)A在右支上，運(yùn)用雙曲線的定義和直角三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（I）雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1的a=3，b=3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=6，
則F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），
∠F₁AF₂ 的平分線交x軸于點(diǎn)M，
可得$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{|A{F}_{1}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
可得A在右支上，
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a=6，
解得|AF₂|=6；
（II）由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)A在右支上，
可得|AF₁|-|AF₂|=6，
且|AF₁|+|AF₂|=24，
解得|AF₁|=15，|AF₂|=9，
又|F₁F₂|=12，
由9²+12²=15²，
可得AF₂⊥F₁F₂，
則△F₁AF₂的面積為$\frac{1}{2}$×9×12=54．
故答案為：6，54．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和定義，考查角平分線的性質(zhì)定理以及三角形的面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．