Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+a，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e]上無零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性，判斷函數(shù)在（1，e]有無零點即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a＞0時，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
a≤0時，在（0，+∞）內(nèi)，f′（x）＞0恒成立，
綜上，a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，
a≤0時，f（x）在（0，+∞））遞增；
（2）a≤0時，由（1）得f（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（1）=0，∴此時函數(shù)在（1，e]上無零點，符合題意，
0＜$\frac{1}{a}$≤1即a≥1時，由（1）知f（x）在（1，e]遞減，
∵f（1）=0，得：a≥1時，函數(shù)在（1，e]上無零點，符合題意，
$\frac{1}{a}$＞1即0＜a＜1時，若f（x）在（1，e]無零點，由f（1）=0，
結合（1）中函數(shù)的單調性可得，只需f（e）＞0，即a＜$\frac{1}{e-1}$，
此時，0＜a＜$\frac{1}{e-1}$，
綜上，a的范圍是（-∞，$\frac{1}{e-1}$）∪[1，+∞）．

點評 本題考查了根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點問題，考查分類討論、轉化思想以及運算的能力．