Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

|cos-sinx|，下列說(shuō)法正確的是

 

（1）當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＜x＜2kπ+

π

2

（k∈Z）時(shí)，f（x）＞0；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

π

2

（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值；
（3）該函數(shù)的值域是[-1，1]；
（4）該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：通過(guò)分段后，易得f（x）=

cosx，x∈[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] sinx，x∈[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，作出其圖象，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．

解答： 解：當(dāng)sinx≥cosx時(shí)，f（x）=

1

2

（sinx+cosx）+

1

2

（cos-sinx）=cosx；
當(dāng)sinx＜cosx時(shí)，f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

（cos-sinx）=sinx；
即f（x）=

cosx，(sinx≥cosx) sinx，(cosx≥sinx)

=

cosx，x∈[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] sinx，x∈[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，
作圖如下：

由圖可知，彩色區(qū)域?yàn)橐粋�(gè)周期內(nèi)（從-

3π

4

～

5π

4

）的圖象，
當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＜x＜2kπ+

π

2

（k∈Z）時(shí)，f（x）＞0，即（1）正確；
當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+

π

4

（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值，故B錯(cuò)誤；
該函數(shù)的值域是[-1，

2

2

]，故（3）錯(cuò)誤；
該函數(shù)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)，故（4）錯(cuò)誤．
綜上所述，（1）正確．
故答案為：（1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作圖是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．