Question

【題目】設(shè)常數(shù)，已知復(fù)數(shù)，和，其中均為實數(shù)，為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)，有，將作為點的坐標(biāo)，作為點的坐標(biāo)，通過關(guān)系式，可以看作是坐標(biāo)平面上點的一個變換，它將平面上的點變到這個平面上的點.

（1）分別寫出和用表示的關(guān)系式；

（2）設(shè)，當(dāng)點在圓上移動時，求證：點經(jīng)該變換后得到的點落在一個圓上，并求出該圓的方程；

（3）求證：對于任意的常數(shù)，總存在曲線，使得當(dāng)點在上移動時，點經(jīng)這個變換后得到的點的軌跡是二次函數(shù)的圖像，并寫出對于正常數(shù)，滿足條件的曲線的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) 證明見解析， (3) 證明見解析，

【解析】

（1）運用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的概念，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等得出和用表示的關(guān)系式；
（2）利用轉(zhuǎn)換，代換的方法，求軌跡方程；
（3）由（1）的結(jié)論和滿足的方程，代入計算可得所求方程．

(1)由復(fù)數(shù)，和,

所以.

(2)證明：當(dāng)時，,

兩邊平方相加可加得.

當(dāng)點在圓上移動時，滿足.

則點在圓上運動.

(3)證明：由（1）有

且點的軌跡是二次函數(shù)的圖像.

可得，即.

化簡得.

對于正常數(shù)，曲線的方程為.

當(dāng)點在上移動時，點經(jīng)這個變換后得到的點的軌跡是二次函數(shù)的圖象．