Question

3．函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）-sin²x-ln|x|+$\frac{1}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)條件先化簡函數(shù)f（x），利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）-sin²x-ln|x|+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{1-cos2x}{2}$-ln|x|+$\frac{1}{2}$=cos2x-ln|x|，
由f（x）=cos2x-ln|x|=0得cos2x=ln|x|，
分別作出函數(shù)y=cos2x和y=ln|x|的圖象如圖：
則由圖象知兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷，利用三角函數(shù)的公式先化簡函數(shù)f（x），利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．