Question

11．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）+2cos²x+a的最大值為3．
（Ⅰ）求f（x）的對稱軸方程和a的值；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，由已知最值可得a=0，解2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得對稱軸方程；
（Ⅱ）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得單調(diào)遞增區(qū)間，和已知區(qū)間取交集可得單調(diào)遞增區(qū)間，同時可得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）+2cos²x+a
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+a=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
∵函數(shù)的最大值為3，∴2+a+1=3，解得a=0，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，故f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴當k=0時，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的單調(diào)遞減．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的對稱性和單調(diào)性最值，屬中檔題．