Question

12．（1+2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁵的展開式中常數(shù)項(xiàng)為121．

Answer 1

分析 根據(jù)${[1+（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）]}^{5}$ 的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$，由于${（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$的展開式的通項(xiàng)為${C}_{r}^{k}$•2^r-k•x^r-3k，k=0，1，2，…r，k≤r，由此分類討論求得常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：（1+2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁵ =${[1+（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）]}^{5}$ 的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$，
r=0，1，2，3，4，5．
由于${（2x+\frac{1}{{x}^{2}}）}^{r}$的展開式的通項(xiàng)為${C}_{r}^{k}$•2^r-k•x^r-3k，k=0，1，2，…r，k≤r，
令r-3k=0，求得r=3k，
當(dāng)r=0，k=0時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為${C}_{5}^{0}$=1；
當(dāng)r=3，k=1時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為${C}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{1}$•2²=120，
故（1+2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁵的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1+120=121，
故答案為：121．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是得出產(chǎn)生常數(shù)項(xiàng)的情況為哪些，是中檔題目．