Question

13．若關(guān)于x的不等式$\frac{m{e}^{x}}{x}$≥6-4x在（0，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{2}{\sqrt{e}}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得m≥$\frac{x（6-4x）}{{e}^{x}}$的最大值，設(shè)f（x）=$\frac{x（6-4x）}{{e}^{x}}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最大值，進(jìn)而得到m的范圍．

解答 解：關(guān)于x的不等式$\frac{m{e}^{x}}{x}$≥6-4x在（0，+∞）上恒成立，
即有m≥$\frac{x（6-4x）}{{e}^{x}}$的最大值，
設(shè)f（x）=$\frac{x（6-4x）}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}-14x+6}{{e}^{x}}$
=$\frac{2（x-3）（2x-1）}{{e}^{x}}$，
由x＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
$\frac{1}{2}$＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
x＞3時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
且x＞3時(shí)，f（x）＜0，
即有x=$\frac{1}{2}$處，f（x）取得最大值，且為$\frac{2}{\sqrt{e}}$，
可得m≥$\frac{2}{\sqrt{e}}$．
故答案為：[$\frac{2}{\sqrt{e}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．