Question

3．已知f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式可得；
（2）由$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，由三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin2x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin2x∈[1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬基礎(chǔ)題．