Question

13．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB₁的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯誤的是（　　）

• A． D₁O∥平面A₁BC₁
• B． D₁O⊥平面AMC
• C． 異面直線BC₁與AC所成的角等于60°
• D． 點(diǎn)B到平面AMC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由線面平行的判定證明A正確；由線面垂直的判定說明B正確；由異面直線所成角的概念結(jié)合正方體的面對角線相等說明C正確；設(shè)出正方體棱長，利用等積法求出B到平面AMC的距離，說明D錯誤．

解答 解：如圖，
連接B₁D₁，交A₁C₁于N，則可證明OD₁∥BN，
由OD₁?面A₁BC₁，BN?面A₁BC₁，可得D₁O∥面A₁BC₁，A正確；
由三垂線定理的逆定理可得OD₁⊥AC，
設(shè)正方體棱長為2，可求得OM²=3，$O{{D}_{1}}^{2}=6$，$M{{D}_{1}}^{2}=9$，
則$O{{D}_{1}}^{2}+O{M}^{2}={D}_{1}{M}^{2}$，有OD₁⊥OM，由線面垂直的判定可得D₁O⊥平面AMC，B正確；
由正方體的面對角線相等得到△A₁BC₁為正三角形，即∠A₁C₁B=60°，
∴異面直線BC₁與AC所成的角等于60°，C正確；
設(shè)點(diǎn)B到平面AMC的距離為d，正方體的棱長為2a，則$AC=2\sqrt{2}a$，
$OM=\sqrt{3}a$，由V_B-AMC=V_A-BCM，得
$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AC×OM×d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×AB×BM$，
即$2\sqrt{2}a×\sqrt{3}a×d=4{a}^{3}$，解得：d=$\sqrt{6}a$，D錯誤．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了空間直線和平面的位置關(guān)系，考查了異面直線所成角的求法，訓(xùn)練了利用等積法求點(diǎn)到面的距離，是中檔題．