Question

【題目】某次考試中，語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）如果成績大于135的為特別優(yōu)秀，隨機抽取的500名學生在本次考試中語文、數(shù)學成績特別優(yōu)秀的大約各多少人？（假設(shè)數(shù)學成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）

（Ⅱ）如果語文和數(shù)學兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（Ⅰ）中至少有一科成績特別優(yōu)秀的同學中隨機抽取3人，設(shè)3人中兩科都特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅲ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認為語文特別優(yōu)秀的同學，數(shù)學也特別優(yōu)秀.

（附公及表）

①若，則， ；

②， ；

③

Answer 1

【答案】（I）數(shù)學人，語文人；（II）期望為；（III）有的把握認為語文特別優(yōu)秀的同學數(shù)學也特別優(yōu)秀.

【解析】試題分析：（Ⅰ）語文服從正態(tài)分布， ，即 ，根據(jù)頻率分布直方圖計算成績大于135的頻率，再乘以500就是人數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果可知，至少有一科特別優(yōu)秀的有16人，其中都優(yōu)秀的有6人，恰有一科優(yōu)秀的有10人， 服從超幾何分布，列出分布列；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）列 列聯(lián)表，計算 和6.635比較大小.

試題解析：（Ⅰ） ∵語文成績服從正態(tài)分布，

∴語文成績特別優(yōu)秀的概率為，

數(shù)學成績特別優(yōu)秀的概率為，

故語文特別優(yōu)秀的同學有人，數(shù)學特別優(yōu)秀的同學有人；

（Ⅱ）∵至少有一科成績特別優(yōu)秀的同學人數(shù)為： ，

∴語文、數(shù)學兩科都優(yōu)秀的有人，單科優(yōu)秀的有人， 的所有可能取值為，

∴， ，

， ，

∴的分布列為：

	0	1	2	3

∴；

（Ⅲ）列聯(lián)表：

	語文特別優(yōu)秀	語文不特別優(yōu)秀	合計
數(shù)學特別優(yōu)秀	6	6	12
數(shù)學不特別優(yōu)秀	4	484	488
合計	10	490	500

于，

∴有的把握認為語文特別優(yōu)秀的同學數(shù)學也特別優(yōu)秀．

注：計算時，不計算出近似值144.5，答案中類有似“”的化簡步驟直接寫出“>6.635”不扣分．