Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

x+1

，a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的點都在不等式組

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1在（0，+∞）上有零點，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）將a=1代入，結合函數(shù)的定義域和單調(diào)性，可得f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的點都在不等式組

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面區(qū)域內(nèi)，則f（x）=ax+

x+1

≥x-1在[-1，+∞）上恒成立，進而可得實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1在（0，+∞）上有零點，利用換無法，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得a²+b²的最小值．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x+

x+1

的定義域為[-1，+∞），
由y=x和y=

x+1

均為增函數(shù)，
故f（x）=x+

x+1

為增函數(shù)，
故當x=-1時，f（x）取最小值-1，
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的點都在不等式組

x+1≥0 x-y-1≤0

表示的平面區(qū)域內(nèi)，
則f（x）=ax+

x+1

≥x-1在[-1，+∞）上恒成立，
即（a-1）x+

x+1

+1≥0在[-1，+∞）上恒成立，
令t=

x+1

，則x=t²-1，（t≥0），
則（a-1）（t²-1）+t+1≥0在[0，+∞）上恒成立，
當a=1時，t+1≥1滿足條件，
當a≠1時，若（a-1）（t²-1）+t+1≥0在[0，+∞）上恒成立，
則

a-1＞0 2-a≥0

，解得：1＜a≤2，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[1，2]，
（3）令h（x）=x⁴+[f（x）-

x+1

]（x²+1）+bx²+1=0
即x2+ax+b+

a

x

+

1

x2

=0，
令t=x+

1

x

，則方程可化為t²+at+b-2=0，t≥2，
設令g（t）=t²+at+b-2=0，t≥2，
當-

a

2

＞2，即a＜-4時，只需△=a²-4b+8≥0，此時，a²+b²≥16；
當-

a

2

≤2，即a≥-4時，只需4+2a+b-2≤0，即2a+b+2≤0，此時a²+b²≥

4

5

．
綜上所述a²+b²的最小值為

4

5

．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定定理，函數(shù)的單調(diào)性和最值，線性規(guī)劃，是函數(shù)，不等式的綜合應用，難度中檔．