Question

14．定義域為[a，b]的函數f（x）的圖象的左、右端點分別為A、B，點M（x，y）是f（x）的圖象上的任意一點，且x=λa+（1-λ）b（λ∈R）．向量$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$，其中O為坐標原點．若|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，則稱函數f（x）在[a，b]上“k階線性相似”．若函數y=x²-3x+2在[1，3]上“k階線性相似”，則實數k的取值范圍為（　�。�

• A． [0，+∞]
• B． [1，+∞]
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞]
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據條件可以得到M，N點的橫坐標相同，且點N在直線AB上，而可以求出A，B兩點的坐標，從而可以得到直線AB的方程為y=x-1，這樣即可得出$|\overrightarrow{MN}|=|{x}^{2}-4x+3|$．而根據x的范圍即可求出$|\overrightarrow{MN}|$的范圍，即得出$|\overrightarrow{MN}|$的最大值，從而便可得出實數k的取值范圍．

解答 解：由題意，M，N點的橫坐標相同，$|\overrightarrow{MN}|≤k$，即$|\overrightarrow{MN}{|}_{max}≤k$；
∵A（1，0），B（3，2）；
∴直線AB的方程為y=x-1；
根據題意知，點N在直線AB上；
∴$|\overrightarrow{MN}|=|{x}^{2}-3x+2-x+1|=|{x}^{2}-4x+3|$；
∵x∈[1，3]，x²-4x+3=0的兩根為1，3；
∴|x²-4x+3|∈[0，1]；
∴$|\overrightarrow{MN}{|}_{max}=1$；
∴1≤k；
∴實數k的取值范圍為[1，+∞）．
故選：B．

點評 考查向量坐標的加法和數乘運算，理解“k階線性相似”的概念，由$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$知N，A，B三點共線，橫坐標相同的兩點距離的求法，要熟悉二次函數的圖象．