Question

9．已知函數(shù)y=x³+px²+qx，其圖象與x軸切于非原點(diǎn)的一點(diǎn)，且該函數(shù)的極小值是-4，那么切點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）．

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)（a，0）（a≠0），f（x）=x（x²+px+q）．由題意得：方程x²+px+q=0有兩個(gè)相等實(shí)根a，故可得f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，再利用y_極小值=-4，可求a=-3，從而得到切點(diǎn)．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)（a，0）（a≠0），
f（x）=x（x²+px+q），
由題意得：方程x²+px+q=0有兩個(gè)相等實(shí)根a，
故可得f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x
f′（x）=3x²-4ax+a²=（x-a）（3x-a），
令f′（x）=0，則x=a或$\frac{a}{3}$，
∵f（a）=0≠-4，
∴f（$\frac{a}{3}$）=-4，
于是$\frac{a}{3}$（$\frac{a}{3}$-a）²=-4，
∴a=-3，
即有切點(diǎn)為（-3，0），
故答案為：（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．