Question

19．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，∠B=45°，$b=\sqrt{10}，sinC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求邊長a；  
（2）設(shè)AB中點為D，求中線CD的長．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC的值，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算求值sinA，進而利用正弦定理可求a的值．
（2）由余弦定理得AB，利用已知可求BD=1，在△BCD中由余弦定理得CD的值．

解答 解：（1）因為$sinC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\sqrt{1-{{（{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，…（1分）
所以：sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinB
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，…（3分）
由正弦定理可得：$a=\frac{bsinA}{sinB}=\frac{{\sqrt{10}•\frac{{3\sqrt{10}}}{10}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=3\sqrt{2}$…（6分）
（2）由余弦定理得${c^2}={（{3\sqrt{2}}）^2}+{（{\sqrt{10}}）^2}-2×（{3\sqrt{2}}）（{\sqrt{10}}）•\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=4$，…（8分）
所以BD=1，
在△BCD中由余弦定理得CD²=BD²+BC²-2BD•BCcosB…（10分）
=$1+{（{3\sqrt{2}}）^2}-2×1×3\sqrt{2}\frac{{\sqrt{2}}}{2}=13$，
所以：$CD=\sqrt{13}$…（12分）

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．