Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

 （n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（Ⅲ）若數(shù)列b_n=

an

n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）利用已知條件直接求解a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）觀察第一問的結(jié)果，猜想a_n，如果用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明即可；
（Ⅲ）化簡數(shù)列b_n=

an

n

，利用裂項(xiàng)求和求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

，
∴a₂=

2a1

2+a1

=

2

3

，a₃=

2a2

2+a2

=

2

4

，a₄=

2a3

2+a3

=

2

5

．
（Ⅱ）猜想：a_n=

2

n+1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

2

1+1

=1，等式成立．
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=

2

k+1

成立．
則n=k+1時(shí)，
a_k+1=

2ak

2+ak

=

4 k+1

2+ 2 k+1

=

4

2k+2+2

=

2

(k+1)+1

即n=k+1時(shí)，等式也成立，
由數(shù)學(xué)歸納法知：a_n=

2

n+1

對n∈N^*都成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=

an

n

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

n+1

]
從而s_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2[1-

1

n+1

]=

2n

n+1

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，歸納猜想以及數(shù)列求和的方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．