Question

14．若${（x+\frac{a}{{\root{3}{x}}}）^8}$（a＞0）的展開式中當且僅當第6項系數最大，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $\frac{5}{4}＜a＜2$
• B． $\frac{5}{4}≤a≤2$
• C． $2≤a≤\frac{7}{2}$
• D． $2＜a＜\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根據二項式展開式的通項公式，結合題意，得出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{5}{•a}^{5}}\\{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{7}{•a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：${（x+\frac{a}{{\root{3}{x}}}）^8}$（a＞0）的展開式中通項公式為
T_r+1=C₈^r•x^8-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r=C₈^r•a^r•x^{8-$\frac{2}{3}$r）}，
又展開式中當且僅當第6項系數最大，
則$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{5}{•a}^{5}}\\{{C}_{8}^{6}{•a}^{6}{＞C}_{8}^{7}{•a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2{8a}^{6}＞5{6a}^{5}}\\{2{8a}^{6}＞{8a}^{7}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得2＜a＜$\frac{7}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了二項展開式的通項公式以及二項展開式各項系數的應用問題，是基礎題目．