Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}，{b_n}的公比分別為q₁，q₂，則q₁=q₂是{a_n+b_n}為等比數(shù)列的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的定義通項公式、充要條件的判定即可得出．

解答 解：等比數(shù)列{a_n}，{b_n}的公比分別為q₁，q₂，則q₁=q₂=q⇒$\frac{{a}_{n+1}+_{n+1}}{{a}_{n}+_{n}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{n}+_{1}{q}^{n}}{{a}_{1}{q}^{n-1}+_{1}{q}^{n-1}}$=q，因此{a_n+b_n}為等比數(shù)列；
反之也成立，設(shè){a_n+b_n}是公比為q等比數(shù)列，則a_n+b_n=$（{a}_{1}+_{1}）{q}^{n-1}$，${a}_{1}{q}_{1}^{n-1}$+$_{1}{q}_{2}^{n-1}$=$（{a}_{1}+_{1}）{q}^{n-1}$，對于?n∈N^*恒成立，∴q₁=q₂=q．
∴q₁=q₂是{a_n+b_n}為等比數(shù)列的充要條件．
故選：C．

點評 本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式、充要條件的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．