Question

5．已知定義在R的函數(shù)$f（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}（{a＞1}）$．
（1）判斷f（x）的奇偶性和單調(diào)性，并說明理由；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x-1）＞f（2x+1）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的奇偶性和單調(diào)性，并說明理由；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式：f（x-1）＞f（2x+1）進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）f（-x）=a^-x+$\frac{1}{{a}^{-x}}$=a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$=f（x），
則函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，設(shè)0≤x₁＜x₂，
即f（x₁）-f（x₂）=${a}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$-${a}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$=${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{a}^{{x}_{2}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{a}^{{x}_{2}}-{a}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}-1}{{a}^{{x}_{1}}{a}^{{x}_{2}}}$，
∵a＞1，0≤x₁＜x₂
∴1≤${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，
則${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，${a}^{{x}_{1}}$•${a}^{{x}_{2}}$-1＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），即此時函數(shù)單調(diào)遞增，
同理當(dāng)x≤0時，函數(shù)單調(diào)遞減；
（2）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上為增函數(shù)，
則關(guān)于x的不等式：f（x-1）＞f（2x+1）等價為f（|x-1|）＞f（|2x+1|），
即|x-1|＞|2x+1|，
平方得x²-2x+1＞4x²+4x+1，
即3x²+6x＜0，即x²+2x＜0，得-2＜x＜0，
即不等式的解集為（-2，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．