Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，且角A為銳角，b+c=2a=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積并判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)圖象得到振幅和A=2，ω=2，從而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，將點（$\frac{π}{12}$，2）代入得到φ=$\frac{π}{3}$，從而可求解析式；
（2）由f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，結(jié)合0$＜A＜\frac{π}{2}$，可解得A=$\frac{π}{3}$，由b+c=2a=2$\sqrt{3}$，兩邊平方可得：b²+c²=12-2bc①，由余弦定理cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$可得：b²+c²=a²+bc=3+bc②，由①②可得：bc=3，結(jié)合已知b+c=2$\sqrt{3}$，可解得b=c=a=$\sqrt{3}$，從而可求△ABC為等邊三角形，即可求得面積．

解答 解：（1）根據(jù)圖象得到：A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，
∴T=π，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
將點（$\frac{π}{12}$，2）代入得到2sin（$\frac{π}{6}$+φ）=2，|φ|＜$\frac{π}{2}$
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵f（A-$\frac{π}{3}$）=2sin（2A-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，故解得：2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，既有：A=$\frac{π}{3}$，
∵b+c=2a=2$\sqrt{3}$，∴兩邊平方可得：b²+c²=12-2bc①，
∵由余弦定理cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$可得：b²+c²=a²+bc=3+bc②
∴由①②可得：bc=3，結(jié)合已知，b+c=2$\sqrt{3}$可得：（2$\sqrt{3}-b$）b=3，解得：b=c=a=$\sqrt{3}$，
∴△ABC為等邊三角形．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其運用，考查了余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基本知識的考查．