Question

14．已知點p（c，$\frac{3}{2}$c）在以F（c，0）為右焦點的橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，斜率為1的直線m過點F與橢圓Γ交于A，B兩點，且與直線l：x=4c交于點M．
（Ⅰ） 求橢圓Γ的離心率e；
（Ⅱ） 試判斷直線PA，PM，PB的斜率是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)列，給出證明；若不成等差數(shù)列，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把點P的坐標代入橢圓方程，結合隱含條件化為關于e的方程，則橢圓的離心率可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的橢圓的離心率，把a，b用含有c的代數(shù)式表示，求出直線m的方程，和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系得到k₁+k₃，并求得k₂的值，由k₁+k₃=k₂說明直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列．

解答 解：（Ⅰ）∵點p（c，$\frac{3}{2}$c）在橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{9{c}^{2}}{4^{2}}=1$．
整理得，4a⁴-17a²c²+4c⁴=0，即4e⁴-17e²+4=0，
解得$e=\frac{1}{2}$或e=2 （舍），
∴離心率$e=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列，證明如下：
由（Ⅰ）知，$a=2c，b=\sqrt{3}c$，∴橢圓E：3x²+4y²=12c²，
直線m的方程為y=x-c．
代入橢圓方程并整理，得7x²-8cx-8c²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線PA，PM，PB的斜率分別為k₁，k₂，k₃，
則有${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8c}{7}，{x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{8{c}^{2}}{7}$．
可知M的坐標為（4c，3c）．
∴${k}_{1}+{k}_{3}=\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}c}{{x}_{1}-c}+\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}c}{{x}_{2}-c}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{2}c（{x}_{1}+{x}_{2}）+5{c}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-c（{x}_{1}+{x}_{2}）+{c}^{2}}=1$，
$2{k}_{2}=\frac{2（\frac{3}{2}c-3c）}{c-4c}=1$，
∴k₁+k₃=2k₂．
故直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列．

點評 本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，該題是中檔題．