Question

8．△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c，且asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，利用正弦定理可得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，化為tanA=$\sqrt{3}$，進(jìn)而得出．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，變形6²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，解得bc即可得出．

解答 解：（I）∵asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，
∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴tanA=$\sqrt{3}$，
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴6²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，
∴8²-3bc=6²，化為bc=$\frac{28}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×\frac{28}{3}×sin\frac{π}{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角函數(shù)求值、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．