Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=

an-1

1+4an-1

，且a₁=

1

5

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）試問a₁a₂是否是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）把原遞推式取倒數(shù)，得到數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列，求出數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式后得答案；
（Ⅱ）直接求出a₁a₂，由a₁a₂=

1

4n+1

求得n的值的答案．

解答： 解：（1）根據(jù)題意a₁=

1

5

，及遞推關(guān)系a_n=

an-1

1+4an-1

，有a_n≠0，
取倒數(shù)得：

1

an

=

1

an-1

+4，即

1

an

-

1

an-1

=4（n＞1）．
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列．

1

an

=5+4(n-1)=4n+1，an=

1

4n+1

；
（2）由（1）得：
a₁a₂=

1

5

×

1

9

=

1

45

=

1

4n+1

，解得n=11．
∴a₁a₂是數(shù)列{a_n}中的第11項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．