Question

3．如圖，兩條異面直線a，b所成的角為θ，在直線a，b上分別取點(diǎn)A′，E和點(diǎn)A，F(xiàn)，使AA′⊥a，且AA′⊥b（AA′稱為異面直線a，b的公垂線），已知A′E=m，AF=n，EF=l，求公垂線AA′的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由題意，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA′}$+$\overrightarrow{A′A}$+$\overrightarrow{AF}$，兩邊平方，結(jié)合條件，即可求公垂線AA′的長(zhǎng)．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA′}$+$\overrightarrow{A′A}$+$\overrightarrow{AF}$，
∴${\overrightarrow{EF}}^{2}$=$\overrightarrow{EA′}$²+$\overrightarrow{A′A}$²+$\overrightarrow{AF}$²+2$\overrightarrow{EA′}$•$\overrightarrow{A′A}$+2$\overrightarrow{AA′}$•$\overrightarrow{AF}$+2$\overrightarrow{EA′}$•$\overrightarrow{AF}$，
∴l(xiāng)²=m²+$\overrightarrow{A′A}$²+n²±2mncosθ，
∴|$\overrightarrow{A′A}$|=$\sqrt{{l}^{2}-{m}^{2}-{n}^{2}±2mncosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求公垂線AA′的長(zhǎng)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．