Question

9．已知點A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），當(dāng)四邊形PABN的周長最小時，則a的值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由兩點間距離公式得到欲求當(dāng)四邊形PABN的周長最小時a的值，只需求出$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$的最小值時的a值，只需x軸上的點（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和最小即可，由此能求出a的值．

解答 解：∵點A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），
∴四邊形PABN的周長為
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|
=$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（4-1）^{2}+（0+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$+1
=$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{13}$+1，
∴欲求當(dāng)四邊形PABN的周長最小時a的值，
只需求出$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$的最小值時的a值．
由于$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（0-1）^{2}}$，
表示x軸上的點（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和，只需該距離之和最小即可．
利用對稱的思想，可得該距離之和的最小值為（1，-3）與（3，1）間的距離，
且取得最小的a值為E（1，-3）與F（3，1）確定的直線與x軸交點的橫坐標(biāo)，
∵直線EF的斜率k=$\frac{1+3}{3-1}$=2，∴直線EF方程為y+3=2（x-1），化簡得y=2x-5，
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，∴此時a的值為$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點間距離公式和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．