Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=3^x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過B作y軸的垂線交函數(shù)y=9^x的圖象于點(diǎn)C，若AC平行于y軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（log₃2，2）．

Answer 1

分析 設(shè)A（n，3ⁿ），B（m，3^m），由圖象和解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)A，B，O三點(diǎn)共線，利用斜率相等、指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：由題意設(shè)A（n，3ⁿ），B（m，3^m），
由9^x=3^m=3^2x，即m=2x，解得x=$\frac{m}{2}$，則C（$\frac{m}{2}$，3^m），
∵AC平行于y軸，∴n=$\frac{m}{2}$，則m=2n，
∴A（$\frac{m}{2}$，3ⁿ），B（m，3^m），
又A，B，O三點(diǎn)共線，∴k_OA=k_OB，
則$\frac{{3}^{n}}{\frac{m}{2}}=\frac{{3}^{m}}{m}$，∴3^m=2•3ⁿ=3²ⁿ，
得3ⁿ=2，即n=log₃2，且${3}^{n}={3}^{lo{g}_{3}^{2}}$=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（log₃2，2）．
故答案為：（log₃2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，直線的斜率公式、三點(diǎn)共線的判定方法等，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．