Question

10．過拋物線E：y²=4x的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，若AB，CD的中點分別為M，N，則△FMN面積的最小值為4．

Answer 1

分析 不妨設(shè)AB的斜率k，利用點斜式方程求出直線AB、CD的方程，與拋物線方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理即可求得中點M、N的坐標，利用點斜式方程求出直線MN的方程，再求出直線MN與x軸的交點坐標，可得△FMN的面積，利用基本不等式求△FMN面積的最小值．

解答 解：由題意不妨設(shè)AB的斜率k＞0，則AB的直線方程是：y=k（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）-2k=$\frac{4}{k}$，
因為M是AB的中點，所以點M（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
將k換為-$\frac{1}{k}$得N（2k²+1，-2k），由兩點式得MN方程為（1-k²）y=k（x-3），則直線MN恒過定點T（3，0）；
所以△FMN面積S=$\frac{1}{2}$（3-1）（$\frac{2}{k}$+2k）=$\frac{2}{k}$+2k≥2$\sqrt{\frac{2}{k}×2k}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{k}$=2k時取等號，此時k=1，
所以△FMN面積的最小值是4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線方程的求解，以及直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．