Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ） 求f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x+1），若對任意的x≥0，都有g(shù)（x）≥mx成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若0＜a＜b，證明：0＜f（a）+f（b）-2f（$\frac{a+b}{2}$）＜（b-a）ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，然后令導(dǎo)數(shù)為零，再判斷導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號，確定極大值或極小值；
（Ⅱ）這是一個不等式恒成立問題，所以可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；
（Ⅲ）證明此類不等式問題，可以根據(jù)要證的式子特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=1+lnx，（x＞0）．
令f'（x）=0，解得：$x=\frac{1}{e}$，且當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{e}）$時，f'（x）＜0，$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$時，f'（x）＞0，
因此：f（x）的極小值為$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1），
令h（x）=（x+1）ln（x+1）-mx，則h'（x）=ln（x+1）+1-m，
注意到：h（0）=0，若要h（x）≥0，必須要求h'（0）≥0，即1-m≥0，亦即m≤1；
另一方面：當(dāng)m≤1時，h'（x）=ln（x+1）+1-m≥0恒成立；
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m≤1；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)$F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}$，x＞a$F'（x）=1+lnx-ln\frac{a+x}{2}-1=ln\frac{2x}{a+x}$，
又∵x＞a，∴0＜a+x＜2x，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（a，+∞）上是單調(diào)遞增的；
故F（b）＞F（a）=0，即：$f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＞0$．
另一方面，構(gòu)造函數(shù)$G（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}-（x-a）ln2$$G'（x）=ln\frac{2x}{a+x}-ln2=ln\frac{x}{a+x}＜0$，G（x）在（a，+∞）上是單調(diào)遞減的，
故G（b）＜G（a）=0即：$f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$，
綜上，$0＜f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題中的應(yīng)用，要注意恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來解的典范思路，注意體會和總結(jié)．