Question

15．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過左焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）若$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，求λ．
（2）設(shè)AB的中垂線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，問A，B，C，D四點(diǎn)是否共圓，若共圓，則求出該圓的方程；若不共圓，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得直線AB：y=x+c，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c，a²=2b²．因此橢圓C的方程即為x²+2y²=2b²．與直線方程聯(lián)立可化為3x²+4bx=0，解得A，B，利用$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，即可解得λ．
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M$（-\frac{2b}{3}，\frac{1}{3}b）$，可得直線CD的方程為$y=-x-\frac{1}{3}b$．設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），線段CD的中點(diǎn)N（m，n），與橢圓方程聯(lián)立可化為27x²+12bx-16b²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點(diǎn)坐標(biāo)公式N$（-\frac{2b}{9}，-\frac{9}）$．再利用兩點(diǎn)之間的距離公式只要證明：|CD|²=4|NA|²，即可．

解答 解：（1）由已知可得直線AB：y=x+c，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²=c²+b²，∴b=c，a²=2b²．
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的方程即為x²+2y²=2b²．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2^{2}}\\{y=x+c}\end{array}\right.$．
化為3x²+4bx=0，
解得x=0，$-\frac{4b}{3}$．
不妨取A（0，b），B$（-\frac{4b}{3}，-\frac{1}{3}b）$，
∵$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，
∴0+b=λ$（-\frac{4b}{3}+b）$，解得λ=-3．
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M$（-\frac{2b}{3}，\frac{1}{3}b）$，
則直線CD的方程為$y-\frac{1}{3}b=-（x+\frac{2b}{3}）$，即$y=-x-\frac{1}{3}b$．
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），線段CD的中點(diǎn)N（m，n），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-\frac{1}{3}b}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2^{2}}\end{array}\right.$，化為27x²+12bx-16b²=0，
∴x₃+x₄=-$\frac{12b}{27}$=-$\frac{4b}{9}$，x₃x₄=$\frac{-16^{2}}{27}$．
∴$m=\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=-$\frac{2b}{9}$，
n=-$（-\frac{2b}{9}）$-$\frac{1}{3}b$=-$\frac{9}$，∴N$（-\frac{2b}{9}，-\frac{9}）$．
|CD|²=2$[（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}]$=$\frac{416^{2}}{81}$．
|NA|²=$（\frac{2b}{9}）^{2}+（\frac{10b}{9}）^{2}$=$\frac{104^{2}}{81}$，
∴|CD|²=4|NA|²，
∴|NA|=$\frac{1}{2}$|CD|，
因此A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
該圓的方程為$（x+\frac{2b}{9}）^{2}+（y+\frac{9}）^{2}$=$\frac{104^{2}}{81}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．