Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱錐P-ABCD的高，PA=AB=2，點M，N，E分別是PD，AD，CD的中點．
（1）求證：平面MNE∥平面ACP；
（2）求四面體AMBC的體積．

Answer 1

分析 （1）由點M，N，E分別是PD，AD，CD的中點，得MN∥PA，NE∥AC，由此能證明平面MNE∥平面ACP．
（2）由已知得MN⊥平面ABC，且MN=$\frac{1}{2}PA=1$，由此能求出四面體AMBC的體積．

解答 證明：（1）∵點M，N，E分別是PD，AD，CD的中點，
∴MN∥PA，NE∥AC，
PA∩AC=A，MN∩NE=N，
PA，AC?平面PAC，MN，NE?平面MNE，
∴平面MNE∥平面ACP．
解：（2）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA是四棱錐P-ABCD的高，
PA=AB=2，點M，N，E分別是PD，AD，CD的中點．
∴MN⊥平面ABC，且MN=$\frac{1}{2}PA=1$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴四面體AMBC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×MN$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查面面平行的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．