Question

6．等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=256，S₃=448，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項乘積，則T_n當取得最大值時，n=8或9．

Answer 1

分析 由已知列式求出等比數(shù)列的公比，得到通項公式，由n≤9時，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}≥1$，n＞9時，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}＜1$得答案．

解答 解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=256，S₃=448，得256（1+q+q²）=448，
解得：$q=\frac{1}{2}$或q=-$\frac{3}{2}$，
∵a_n＞0，∴q=$\frac{1}{2}$，
則$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}={a}_{n}=256•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
當n≤9時，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}≥1$，
當n＞9時，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}＜1$，
∴當n=8或9時，T_n取得最大值．
故答案為：8或9．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法、數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．