Question

14．如圖，過(guò)點(diǎn)P作圓O的割線PBA與切線PE，E為切點(diǎn)，連接AE，BE，∠APE的平分線與AE，BE分別交于點(diǎn)C，D．
（1）求證：$\frac{DB}{DE}$=$\frac{PD}{PC}$；
（2）若∠PCE=2∠AEB，求∠PDB的大�。�

Answer 1

分析 （1）由題意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，從而△PED∽△PAC，結(jié)合PD平分∠BPE，切割線定理，由此能證明$\frac{DB}{DE}$=$\frac{PD}{PC}$；
（2）由∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，能求出∠PDB的大小．

解答 （1）證明：由題意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，
則△PED∽△PAC，則$\frac{PE}{PA}$=$\frac{PD}{PC}$①，
又PD平分∠BPE，∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{DE}{DB}$②，
∵PE²=PA•PB，
∴①×②可得：$\frac{DB}{DE}$=$\frac{PD}{PC}$（5分）
（2）解：∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，
∴∠PCE+∠AEB+∠EDC=180°，
∴∠AEB=36°，
∴∠PDB=72°．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到弦切角定理以及三角形相似等內(nèi)容．本小題重點(diǎn)考查考生對(duì)平面幾何推理能力．