Question

1．在曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上求一點(diǎn)P，使它到直線x+2y+3=0的距離最小．

Answer 1

分析 曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為$y=\frac{1}{x+1}$，設(shè)過點(diǎn)P（x₀，y₀）且與x+2y+3=0平行的直線方程為x+2y+m=0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得x₀，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得．

解答 解：曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為$y=\frac{1}{x+1}$，
y′=$-\frac{1}{（x+1）^{2}}$．
設(shè)過點(diǎn)P（x₀，y₀）且與x+2y+3=0平行的直線方程為x+2y+m=0，
∴$-\frac{1}{（{x}_{0}+1）^{2}}$=$-\frac{1}{2}$，解得x₀=-1$±\sqrt{2}$，
取P$（-1-\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
∴點(diǎn)P到直線x+2y+3=0的距離=$\frac{|-1-\sqrt{2}-\sqrt{2}+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2（\sqrt{10}-\sqrt{5}）}{5}$．
∴點(diǎn)P$（-1-\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$到直線x+2y+3=0的距離的最小值為$\frac{2（\sqrt{10}-\sqrt{5}）}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)到直線的距離公式、切線方程、相互平行的直線的距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．