Question

6．已知拋物線C：y²=2x的焦點(diǎn)為F，拋物線C上的兩點(diǎn)A，B滿足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$．若點(diǎn)T（-$\frac{1}{2}$，0），則$\frac{|TA|}{|TB|}$的值為2．

Answer 1

分析 設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{2}$，n），y²=2x的焦點(diǎn)為F（$\frac{1}{2}$，0），求得向量AF，F(xiàn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得m，n，進(jìn)而得到A，B的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{2}$，n），
y²=2x的焦點(diǎn)為F（$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$，-m），$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$，n），
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，
則有m=-2n，m²+2n²=3，
解得m=-$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或m=$\sqrt{2}$，n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有A（1，-$\sqrt{2}$），B（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
或A（1，$\sqrt{2}$），B（$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
|TA|=$\sqrt{\frac{9}{4}+2}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，|TB|=$\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{4}$．
則$\frac{|TA|}{|TB|}$的值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示和兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．