Question

17．已知函數(shù)f′（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，求a的最小值；
（2）若g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，對(duì)?x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，?x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為f′（x）=x²+2x+a≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求a的最小值；
（2）對(duì)?x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，?x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，等價(jià)為[f′（x）]_max≤g（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²+2x+a，
若f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，
則等價(jià)為f′（x）=x²+2x+a≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
即a≥-x²-2x=-（x+1）²+1在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
設(shè)y=-x²-2x=-（x+1）²+1在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
則函數(shù)y的最大值為-3，
即a≥-3，
即a的最小值是-3；
（2）對(duì)?x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，?x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f′（x₁）≤g（x₂）成立，
則等價(jià)為[f′（x）]_max≤g（x）_max，
∵f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1在[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞增，
∴[f′（x）]_max=[f′（2）]=8+a，
∵g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴g（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞增，則[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴在[$\frac{1}{2}$，2]上g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{e}$，
∴8+a≤$\frac{1}{e}$，
即a≤$\frac{1}{e}$-8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及函數(shù)最值的求解，根據(jù)條件將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．