Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，且當x≠0時，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 0
• D． 0或2

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{xf′（x）+f（x）}{x}$，進而可得函數(shù)xf（x）單調(diào)性，而函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零點個數(shù)等價為函數(shù)y=xf（x）+1的零點個數(shù)，可得y=xf（x）+1＞1，無零點．

解答 解：由$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，得$\frac{xf'（x）+f（x）}{x}＞0$
當x＞0時，xf'（x）+f（x）＞0，即${[{xf（x）}]_{\;}}^′＞0$，函數(shù)xf（x）單調(diào)遞增；
當x＜0時，xf'（x）+f（x）＜0，即${[{xf（x）}]_{\;}}^′＜0$，函數(shù)xf（x）單調(diào)遞減．
又$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}=\frac{xf（x）+1}{x}$，函數(shù)$g（x）=\frac{xf（x）+1}{x}$的零點個數(shù)等價為函數(shù)y=xf（x）+1的零點個數(shù)．
當x＞0時，y=xf（x）+1＞1，當x＜0時，y=xf（x）+1＞1，所以函數(shù)y=xf（x）+1無零點，
所以函數(shù)$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}$的零點個數(shù)為0個．
故選C．

點評 本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點的判斷；關(guān)鍵是由已知得到函數(shù)xf（x）的單調(diào)性．