【題目】如圖,已知圓O:和點,由圓O外一點P向圓O引切線,Q為切點,且有 .
(1)求點P的軌跡方程,并說明點P的軌跡是什么樣的幾何圖形?
(2)求的最小值;
(3)以P為圓心作圓,使它與圓O有公共點,試在其中求出半徑最小的圓的方程.
【答案】(1),軌跡是斜率為,在y軸上的截距為的直線,(2)(3)
【解析】
(1)設點P,根據(jù),列式化簡即可得解;
(2)由可知,的最小值即為點A到直線的距離;
(3)結合圓的性質(zhì)可知,與直線垂直,且圓與圓相切時,半徑最小,據(jù)此求解即可.
(1)設點P的坐標為,
,,
由題意有,整理為:,
故點P的軌跡方程為,
點P的軌跡是斜率為,在y軸上的截距為的直線;
(2)由和(1)可知,
的最小值即為點A到直線的距離,
故其最小值為;
(3)由圓的性質(zhì)可知,當直線與直線垂直時,
以此時的點P為圓心,且與圓O相外切的圓即為所求,
此時的方程為,
聯(lián)立方程,解得,即,
又點O到直線的距離為,可得所求圓的半徑為,
故所求圓的標準方程為.
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【題目】圓臺的上、下底面半徑分別為、,母線長,從圓臺母線的中點拉一條繩子繞圓臺側面轉(zhuǎn)到點(在下底面),求:
(1)繩子的最短長度;
(2)在繩子最短時,上底圓周上的點到繩子的最短距離.
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【題目】如圖,一輛汽車從市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以每小時的速度向東均速行駛,汽車開動時,在市南偏東方向距市且與海岸距離為的海上處有一快艇與汽車同時出發(fā),要把一份稿件交給這汽車的司機.
(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把稿件送到司機手中?
(2)在(1)的條件下,求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與所成的角.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線l過點.
(1)若直線l的縱截距和橫截距相等,求直線l的方程;
(2)若直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求直線l的方程.
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【題目】如圖,是的直徑,點B是上與A,C不重合的動點,平面.
(1)當點B在什么位置時,平面平面,并證明之;
(2)請判斷,當點B在上運動時,會不會使得,若存在這樣的點B,請確定點B的位置,若不存在,請說明理由.
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【題目】①若直線與曲線有且只有一個公共點,則直線一定是曲線的切線;
②若直線與曲線相切于點,且直線與曲線除點外再沒有其他的公共點,則在點附近,直線不可能穿過曲線;
③若不存在,則曲線在點處就沒有切線;
④若曲線在點處有切線,則必存在.
則以上論斷正確的個數(shù)是( )
A.0個B.1個C.2個D.3個
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【題目】為有效預防新冠肺炎對老年人的侵害,某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況.從該社區(qū)全體老年人中,隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試,根據(jù)測試成績(百分制)繪制莖葉圖如下.根據(jù)老年人體質(zhì)健康標準,可知成績不低于80分為優(yōu)良,且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低.
(Ⅰ)從抽取的12人中隨機選取3人,記表示成績優(yōu)良的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;
(Ⅱ)將頻率視為概率,根據(jù)用樣本估計總體的思想,在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人,若抽到人的成績是優(yōu)良的可能性最大,求的值.
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