Question

14．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值．

Answer 1

分析 由題意和數(shù)量積的運(yùn)算可得sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，再由誘導(dǎo)公式和二倍角公式整體可得cos（$\frac{2π}{3}$-x）=1-2cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），代值計(jì)算可得．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（$\frac{2π}{3}$-x）=cos[π-（x+$\frac{π}{3}$）]=-cos（x+$\frac{π}{3}$）
=1-2cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1-2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及向量的運(yùn)算和整體思想，屬基礎(chǔ)題．