Question

11．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$=1，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，|$\overrightarrow{c}$+t$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow$|的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意建立直角坐標(biāo)系，取$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），從而可得$\overrightarrow{c}$=（1，1），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$；從而可得|$\overrightarrow{c}$+t$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}{\overrightarrow}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\frac{2}{t}\overrightarrow•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{2+2（t+\frac{1}{t}）+{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}$≥$\sqrt{2+4+2}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$=1，
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，取$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），
設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∴（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．
∴x=y=1．
∴$\overrightarrow{c}$=（1，1），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$；
∵t＞0．
∴|$\overrightarrow{c}$+t$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{t}$$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}{\overrightarrow}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\frac{2}{t}\overrightarrow•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{2+2（t+\frac{1}{t}）+{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}$≥$\sqrt{2+4+2}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量應(yīng)用及基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．