Question

2．已知函數(shù)f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），其中g(shù)（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0對(duì)任意x∈[1，2]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)g（x）與f（x）的解析式，然后再代入到2a•g（x）+h（2x）≥0中，分離參數(shù)a，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解．

解答 解：由已知得g（x）+h（x）=2^x…①，
所以g（-x）+h（-x）=2^-x，又因?yàn)間（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，
所以-g（x）+h（x）=2^-x，…②．
①②聯(lián)立解得$h（x）=\frac{1}{2}（{2}^{x}+{2}^{-x}）$，$g（x）=\frac{1}{2}（{2}^{x}-{2}^{-x}）$．
代入不等式2a•g（x）+h（2x）≥0得：
a（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）≥0在[1，2]上恒成立．
令t=${2}^{x}-{2}^{-x}∈[\frac{3}{2}，\frac{15}{4}]$，則2^2x+2^-2x=t²+2．
則原式可化為a≥-$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），t∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$]恒成立．
顯然當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，右式取得最大值為-$\frac{17}{12}$，即有a≥-$\frac{17}{12}$．
故答案為[-$\frac{17}{12}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應(yīng)用以及不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解的常規(guī)想法，屬于基礎(chǔ)題．