【題目】設(shè)函數(shù),
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)令,當(dāng)時,證明.
【答案】(Ⅰ)見解析,(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)先對函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系對進(jìn)行分類討論,可求函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)把代入可得,對求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)的零點判定定理可求的最大值,結(jié)合不等式的恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系可證.
(Ⅰ),,
,
當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,令可得,
當(dāng)時,解得,
令可得,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
(Ⅱ),
當(dāng)時,,
令,則,
所以在上單調(diào)遞減.
取,,則,(1),
所以函數(shù)存在唯一的零點,
即,
所以當(dāng),,當(dāng),,,
故函數(shù)在單調(diào)遞增,在,單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時,函數(shù)取得極大值,也是最大值,
由可得,
兩邊同時取對數(shù)可得,,
所以,
故,
由基本不等式可得,因為,
所以,
所以,
又因為 即,
所以當(dāng)時,成立.
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【題目】如圖,平面五邊形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=,cos∠EDC=.將△CDE沿CE折起,使點D移動到P的位置,且AP=,得到四棱錐P-ABCE.
(1)求證:AP⊥平面ABCE;
(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l,求證:AB∥l.
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【題目】“綠水青山就是金山銀山”,“建設(shè)美麗中國”已成為新時代中國特色社會主義生態(tài)文明建設(shè)的重要內(nèi)容,某班在一次研學(xué)旅行活動中,為了解某苗圃基地的柏樹幼苗生長情況,在這些樹苗中隨機抽取了120株測量高度(單位:),經(jīng)統(tǒng)計,樹苗的高度均在區(qū)間內(nèi),將其按,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)當(dāng)?shù)匕貥涿缟L規(guī)律,高度不低于的為優(yōu)質(zhì)樹苗.
(1)求圖中的值;
(2)已知所抽取的這120株樹苗來自于,兩個試驗區(qū),部分?jǐn)?shù)據(jù)如列聯(lián)表:
試驗區(qū) | 試驗區(qū) | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)樹苗 | 20 | ||
非優(yōu)質(zhì)樹苗 | 60 | ||
合計 |
將列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與,兩個試驗區(qū)有關(guān)系,并說明理由;
(3)用樣本估計總體,若從這批樹苗中隨機抽取4株,其中優(yōu)質(zhì)樹苗的株數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:參考公式與參考數(shù)據(jù):,其中
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】如圖,在直角梯形中,,過點作交于點,以為折痕把折起,當(dāng)幾何體的的體積最大時,則下列命題中正確的個數(shù)是( )
①
②∥平面
③與平面所成的角等于與平面所成的角
④與所成的角等于與所成的角
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圓:與軸交于,兩點,為橢圓的左焦點,且是邊長為2的等邊三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點的直線與橢圓交于不同的兩點,,點關(guān)于軸的對稱點為(與,都不重合),判斷直線與軸是否交于一個定點?若是,請寫出定點坐標(biāo),并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.
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【題目】《厲害了,我的國》是2018年在我國各影院上映的一部非;鸬碾娪凹o(jì)錄片,該部影片主要講述了我國近幾年的發(fā)展現(xiàn)狀和成就,影片通過講述中國故事,刻畫中國面貌,弘揚了中國精神,引起了國民的高度關(guān)注,上映僅半個月影片票房就突破了3億元,刷新了我國紀(jì)錄片的票房紀(jì)錄,某市一電影院為了解該影院觀看《厲害了,我的國》的觀眾的年齡構(gòu)成情況,隨機抽取了40名觀眾數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:
年齡/歲 | [10,20) | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) |
人數(shù) | 6 | 8 | 12 | 6 | 4 | 2 | 2 |
(1)求所調(diào)查的40名觀眾年齡的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)該電影院決定采用抽獎方式來提升觀影人數(shù),將《厲害了,我的國》的電影票票價提高20元/張,并允許購買電影票的觀眾抽獎3次,中獎1次、2次、3次分別獎現(xiàn)金20元、30元、60元,設(shè)觀眾每次中獎的概率均為,則觀眾在3次抽獎中所獲得的獎金總額的數(shù)學(xué)期望是多少元(結(jié)果保留整數(shù))?
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【題目】已知正項數(shù)列滿足4Sn=an2+2an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】如圖,三個校區(qū)分別位于扇形OAB的三個頂點上,點Q是弧AB的中點,現(xiàn)欲在線段OQ上找一處開挖工作坑P(不與點O,Q重合),為小區(qū)鋪設(shè)三條地下電纜管線PO,PA,PB,已知OA=2千米,∠AOB=,記∠APQ=θrad,地下電纜管線的總長度為y千米.
(1)將y表示成θ的函數(shù),并寫出θ的范圍;
(2)請確定工作坑P的位置,使地下電纜管線的總長度最。
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【題目】已知直線l:x+y-6=0,過直線上一點P作圓x2+y2=4的切線,切點分別為A,B,則四邊形PAOB面積的最小值為______,此時四邊形PAOB外接圓的方程為______.
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