Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數(shù)，a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n²+S_n•a_n，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）在滿足條件（2）的情形下，令c_n=$\frac{3n+2}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用遞推關(guān)系式得出a₁=a，S_n+1=a（S_n+1-a_n+1+1）②，S_n=a（S_n-a_n+1）①，相減判斷為等比數(shù)列，即可求解通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)b_n=a_n²+S_n•a_n，求解b₁，b₂，b₃，b²₂=b₁•b₃，求解即可得出a的值．
（3）根據(jù)令c_n=（3n+2）•2ⁿ，式子的結(jié)構(gòu)得出T_n=5×2+8×2²+11×2³+…+（3n-1）×2^n-1+（3n+2）×2ⁿ，運(yùn)用錯(cuò)位相減求和求解化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）∵S_n=a（S_n-a_n+1）①（a為常數(shù)，a≠0，a≠1）．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a，
S_n+1=a（S_n+1-a_n+1+1）②
②-①得出：a_n+1=aa_n，n≥1，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a，
∴數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公比為a等比數(shù)列，
a_n=aⁿ，S_n=$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$①（a為常數(shù)，a≠0，a≠1）．
（2）∵b_n=a_n²+S_n•a_n，
∴b₁=2a²，b₂=2a⁴+a³，b₃=2a⁶+a⁵+a⁴，
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴${_{2}}^{2}$=b₁•b₃，
得出2a⁷=a⁶，a≠0，a≠1）．
∴a=$\frac{1}{2}$；
（3）a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∵令c_n=$\frac{3n+2}{_{n}}$，
∴令c_n=（3n+2）•2ⁿ，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=5×2+8×2²+11×2³+…+（3n-1）×2^n-1+（3n+2）×2ⁿ，①
2T_n=5×2²8×2³+11×2⁴+…+（3n-1）×2ⁿ+（3n+2）×2ⁿ⁺¹②
①-②得出：-T_n=5×2+3×（2²+2³+…+2^n-1）-（3n+2）×2ⁿ⁺¹=（1-3n）×2ⁿ⁺¹-2，
T_n=（3n-1）×2ⁿ⁺¹+2

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了等差，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式，遞推關(guān)系式，錯(cuò)位相減求和問題，考查了學(xué)生的分析問題，解決問題的能力．