Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的函數(shù)值的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍，確定2x+$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象確定函數(shù)的最大和最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，
當(dāng)2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k+$\frac{3π}{2}$，即kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，函數(shù)單調(diào)減，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角公式和和兩角和公式的運(yùn)用，考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生的基礎(chǔ)公式的靈活運(yùn)用．