Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ） 求f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x+1），若對任意的x≥0，都有g(shù)（x）≥mx成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若0＜a＜b，證明：$0＜f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值即可．
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，構(gòu)造函數(shù)令h（x）=（x+1）ln（x+1）-mx，通過導(dǎo)函數(shù)的符號，求解實數(shù)m的取值范圍．
（III）構(gòu)造函數(shù)$F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}$，x＞a，通過導(dǎo)函數(shù)的符號，集合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值，推出結(jié)果即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=xlnx，則f′（x）=1+lnx，（x＞0）
令f′（x）=0，解得：$x=\frac{1}{e}$，且當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{e}）$時，f′（x）＜0，$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$時，f′（x）＞0
因此：f（x）的極小值為$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$
（Ⅱ）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1）
令h（x）=（x+1）ln（x+1）-mx，則h′（x）=ln（x+1）+1-m
注意到：h（0）=0，若要h（x）≥0，必須要求h'（0）≥0，即1-m≥0，亦即m≤1
另一方面：當(dāng)m≤1時，h′（x）=ln（x+1）+1-m≥0恒成立；
故實數(shù)m的取值范圍為：m≤1
（III）構(gòu)造函數(shù)$F（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}$，x＞a，$F'（x）=1+lnx-ln\frac{a+x}{2}-1=ln\frac{2x}{a+x}$，
∵x＞a，∴0＜a+x＜2x，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（a，+∞）上是單調(diào)遞增的；
故F（b）＞F（a）=0，即：$f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＞0$
另一方面，構(gòu)造函數(shù)$G（x）=alna+xlnx-（a+x）ln\frac{a+x}{2}-（x-a）ln2$，
$G'（x）=ln\frac{2x}{a+x}-ln2=ln\frac{x}{a+x}＜0$，
G（x）在（a，+∞）上是單調(diào)遞減的
故G（b）＜G（a）=0即：$f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$
綜上，$0＜f（a）+f（b）-2f（\frac{a+b}{2}）＜（b-a）ln2$．

點(diǎn)評 本題考查好的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題解決問題的能力，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．